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[教育杂谈] 九宫里的宁人规则与宁人规律

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发表在  2022-5-6 20:21 | 显示全部楼层 | 阅读模式
    引:本条知识是1998年左右,在我初二时数学老师指点下发现的一个格则,之后发现的一个规律,之后弃如敝履;又在去年秋冬期间彻底完善并命名,并发现似乎整个互联网都没有相关信息,遂在各大群和抖音上发表。如今半年过去了,似乎互联网上依旧没有相关快捷有效的解决九宫问题知识流传,且百度百科不肯通过审核。于是,趁着现在固厚中学的诸多巧合下往宁都州人网上一发。    本条知识:适合有小学四年级数学水平的人获取巧妙解题法,适合有数学竞赛思维能力的人获取解法证明过程知识。
   
    现在我将当时写在百度百科里的资料粘贴到本网站,并稍作修改,供大家借鉴。
   

      九宫数学     
九宫是小学数学中常见题型。
      九宫概念      
九宫概念:每条线上的三个数之和均相等。
      
1、横向一线三数,有三组。
      
2、纵向一线三数,有三组。
      
3、斜向一线三数,有撇对角线和捺对角线总共两组。
      
4、这八组三数和均相等,则称之为九宫。我们命名为八和相等。
      
5、河洛图:1、3、5、7、9是十字,从上到下,从左到右;2、4、6、8是四角,从下到上,从右到左。如图

 
1
 
 
8
 
6
 
8
1
6
3
5
7
 
 
 
 
 
3
5
7
 
9
 
 
4
 
2
 
4
9
2
五个奇数
 
四个偶数
 
完整的九宫
            
因此,大家不必跟网上说的那样去背什么谁谁为肩,谁谁为脚,什么的。记住奇数偶数就行了。一个排好,另一个倒过来就是了。当然了,等到熟悉宁人规则与宁人规律后,这种题目就是瞄一眼就能直接写完答案的。

九宫题型
     
九宫题型:小学中九宫题型主要是两类。
      
一、九宫中给予三个数字及其位置,要求补充完整整个九宫。
      
二、九宫中给予全部九个数字,要求将它们填到九宫中。
           
九宫命名。
  
  


  
中心
 

 





 




 

九宫位置
 
九宫对边1
 
九宫对边2
 
九宫对角1
 
九宫对角2
1、上面分别叙述了九宫九个格子的名称,以及对边与对角的概念,都比较直观,不必详述。
      
2、下面说说九宫中邻边与邻角的概念。
      
    邻角:一个边旁边的两个角,如图所示。

 

  
  



 
 


 

 
 
      
    邻边:同一个角旁边的两个边,如图所示。

 

 

 
公共对角 
公共对角


 
 

 

公共对角
 
公共对角

 




3、九个整数的九宫位置图

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
中心奇数:九奇数
 
中心偶数:五偶数
 
中心奇数:五奇数
 
中心偶数:九偶数
 
中心奇数:三奇数

4、九宫位置特点(重点)      
中心
1、中心数是九数平均,也是线三数的平均。即:8个和均为中心数的三倍。
      
2、对数和等于中心数的两倍。即:对边两数与对角角两数的平均数都是中心数。
      
3、由2可知:对于给定的九数填九空,若把这九个数从小到大排列,中心是中心:即中心填老五。
      
下面对第一条简单证明下:设九数总和是9a,则八个和都是3a。取如图4个3a:


  

 
  
 
1
1
1






 
1
4
1

 


 

1
1
1
第一个3a
 
第二个3a
 
第三个3a
 
第四个3a
 
九宫位置的数量


      
      
根据他们的位置可知,9个数都出现过,他们的总和是9a,去掉这九个数的9a,剩余中心数的3倍是3a,也就是八和。中心数等于a,其9倍就是9a,即证。
      
剩余两条水到渠成,不再赘述。
      宁人规则     
宁人规则,宁都人在1998年发现的规则:邻边之和等于其对角的两倍,即:角是其两个对边的平均数。
      
证明过程与上面那个极度类似,不详讲,说明四个3a取两横两竖缺该角的飞鱼形可也,笔者上次在抖音用象棋子演示过。
      
概念命名:

因为考虑到州人数学水平有限,而且我证明过程的表述又有了新的改变,因此,改为详讲该规则的证明过程,如下:

第一组数
  
  
  

1
2
2
    


 
 

1
2
2
    





 

0
1
1
  
1

第一个3a 
第二个3a
 
第三个3a
 
第四个3a
 
统计第一组12a
 
1
                     
2

第二组数
  
  
  
 
1
1
2
 
区别


 



1
2
1
    




 

 
2
1
1
    
第一个3a
 
第二个3a
 
第三个3a
 
第四个3a
 
统计第二组12a
    

如图所示,第一组取数,知道总和是12a;第二组取数,总和也是12a。也就是两组12数和相等。
两边同时减去公共数,去掉上下完全相同部分,区别就是蓝2和俩红1.
也就是说:蓝的两倍与红的两个是等大的。即证。
也就是与当初的视频相比,仅仅是将动态操作呈现在了纸上的区别。


宁人规则也可记忆为:角数的两倍等于与它不在一线的两数之和。
      
于是,我们有了第二个两倍关系了。
      
利用这两个两倍关系,只要是九宫中知道了边的非错误题型就能秒解了。
      错误题型     
1、知道三数,分别是对边或对角,外加中心数,但不符合两倍关系。
      
    如果符合两倍关系则有无数解。
      
2、知道三数,分别是邻边与其对角,但不符合两倍关系。
      
    同样,如果符合两倍关系则有无数解。
      
以上,就是题型一:九宫中给予三个数字及其位置,要求补充完整整个九宫。
      
以下,开始讲二:九宫中给予全部九个数字,要求将它们填到九宫中。
      宁人规律      
1、最大数与最小数是一组对边。
      
2、第二大数在最小数边的邻角,第二小数在最大数边的邻角。
      
3、加上上面讲的中心数是:第五个。
      
于是,九个数已经确定了五个,尤其是确定了中心数,知道了八和3a是多少。
      
4、其外带一条原本有的附则:最大数与最小数是一对对边或对角,和为2a。
      
    推理过程:假设最小与甲是一对2a,而最大与乙是另一对2a,有:最大>甲,乙>最小,最大+乙>甲+最小,即:2a>2a,该结论不成立,假设错误。所以最大与最小必须一对。
      
    类推:去了它俩,第二大与第二小也必须成一对;第三大与第三小一对。第四大与第四小一对。
      宁人规律的推理      
下面是宁人规律的推理。
      
1、角数是其两对边的平均数,3个不相等的话,必定一个比它大另一个比它小。因此,它不能是最大的,也不能是最小的。
      
去了角和中心,他们只能在边了。


[/table][table=504]
第二大
最大
两大的公共邻角
  
最大



该邻角的另一邻边 
第二大



最小
该邻角的另一邻角
 
最小
两大的对角

假设第二大在最大的邻角
 
假设第二大在最大的邻边


2、接着我们推理第二条,以第二大为例(也是以最大三数两两不相等为例)。
      
①如上图左图所示:假设第二大在最大邻角,那么他们会是公共邻角的一组邻边+邻角组成一个3a和,而该公共邻角还有另一组邻边+邻角组成一个3a和。于是最大+第二大=另两数之和。由于两个较小的加一起一定比两个较大的加一起小,因此与事实矛盾,假设不成立,即:第二大不能在最大邻角。
      
②如上图右图所示:假设第二大在最大邻边,那么根据宁人规则可知他们的和等于其对角的两倍,即存在一个数是它们的是他们的平均数,也即比最大小比第二大大。若如此,其对角才是第二大,出现矛盾,所以该假设也不成立。
      
③综上,第二大只能是在最小邻角位置了。
      
同理,既是既然比大得到第二大位置就能那么比小能得到第二小位置,又是第二小必须与第二大是一对对边或对角,就能得到第二小的位置了。
      
所以,九宫题型二:九数填九空可以先从小到大排列数字,再按下图填入,再中心数×3得到八和,对一线有二的逐个补齐,时间应该也能在一分钟能。
            
先补齐
最小
第二大
第五
第二小
最大
先补齐


新题型      
掌握以上后,原有的题型都是秒解了。
      
那么如何增大难度使其依旧还有趣味性呢?
      
我们可以增加略有难度的题目。
      
新题型的方向不建议用复杂式子代替简单整数,可以考虑为:只给八数,要求做题者判断出第九数并填入。当然,还要增加难度的话,可以只给出六数再同样要求。
      
例:已知九宫数中八个分别是2、3、4、5、6、7、8、9,求出第九个数,并完成九宫。
      
那么本体第九个数可以是1也可以是10,会有两种答案。
      
结语:规律探究,往往表面的规律能衍生许多其他规律,需要我们自己深挖研究。比如:数独,衍生规律也很多。仔细研究,数学就可能给你惊喜。
      
2022年1月16日凌晨补编。
   

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发表于 2022-5-6 20:40 | 显示全部楼层
这里的表格有毒啊,总会出各种莫名其妙的问题~
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